Les Nombres Complexes

Histoire

Au XVIe siècle, en pleine Renaissance italienne, le mathématicien Gerolamo Cardano cherche à résoudre les équations cubiques. Sa méthode fonctionne, mais elle le force à manipuler des racines carrées de nombres négatifs, des quantités qu'il juge lui-même absurdes et inutiles.

Son élève, Rafael Bombelli, décide pourtant de calculer avec ces nombres impossibles. Il les traite comme des objets algébriques ordinaires, applique les règles de calcul, et constate que les résultats finaux retombent toujours sur des nombres réels parfaitement concrets. La porte est ouverte.

Deux siècles plus tard, Leonhard Euler introduit le symbole 𝑖 pour désigner la racine carrée de −1 et découvre des relations profondes entre ces nombres et les fonctions trigonométriques. Puis Carl Friedrich Gauss achève la transformation en représentant les nombres complexes comme des points dans un plan, leur donnant une réalité géométrique tangible.

Aujourd'hui, les nombres complexes sont devenus indispensables. On les retrouve en physique quantique, en traitement du signal, en aérodynamique et en électronique. Ce qui était autrefois considéré comme impossible est devenu l'un des outils les plus puissants des mathématiques.

Chapitres

• Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?
• Forme algébrique et opérations
• Le plan complexe de Gauss
• Module et argument
• Forme trigonométrique
• La formule d'Euler
• Racines n-ièmes de l'unité
• Équations polynomiales dans ℂ
• Applications géométriques
• Transformations conformes

Le cours

Ressources